El teorema de incompletud de Gödel: Sus implicaciones filosóficas y su posible interés para el psicoanálisis

por Héctor García

Quisiera advertir que este texto carece del rigor que sería necesario para trabajar el tema que nos ocupa: mi conocimiento de las matemáticas y de la filosofía, pero también del psicoanálisis, es claramente insuficiente. El objetivo que persigo escribiéndolo no puede ser por tanto el de proponer una investigación cuidadosa. Más bien, es para mí una tentativa de descubrir el pensamiento de un autor, Gödel, al que Lacan dedica una referencia en “La ciencia y la verdad”, para atreverme después a conjeturar algunas ideas que me han sugerido estas lecturas. Muy probablemente sean equivocadas, incluso delirantes, pero me autorizo a escribirlas porque ello resulta útil para mi reflexión.

Digámoslo así: tomaré a la ligera el término de Wittgenstein “juego de lenguaje”, para aportar al laboratorio un juego conceptual: una tentativa fragmentaria de hilvanado entre dos sistemas de producción de lo real, el psicoanálisis lacaniano y la obra matemática y filosófica de Kurt Gödel.

1) Breve introducción a la cita a Gödel en “La ciencia y la verdad”, de J. Lacan.

En “La ciencia y la verdad” Lacan hace alusión a un teorema del que quizás fue, con Cantor, el matemático más importante del siglo XX: Kurt Gödel.

En las páginas iniciales del texto, Lacan recorre el sujeto en psicoanálisis, para sostener que no es otro que el sujeto de la ciencia, el sujeto cartesiano. Es un sujeto dividido, como puede comprobarse en la experiencia, y un sujeto del cual poseemos una lógica, descrita cuidadosamente a lo largo del seminario XI. Es el sujeto dividido entre el saber y la verdad, y también de cuya posición siempre somos responsables.

La cita llega en la página 840 de los Escritos cuando Lacan está hablando de cómo algunas formas de psicologización del sujeto[1] son fructíferas: en la teoría de juegos, en lingüística, y finalmente en lógica.

La cita es la siguiente:

Es la lógica la que llena aquí el oficio de ombligo del sujeto, y la lógica en cuanto que no es en modo alguno lógica ligada a las contingencias de una gramática.

Es preciso literalmente que la formalización de la gramática dé un rodeo en torno a esa lógica para establecerse con éxito, pero el movimiento de ese rodeo está inscrito en ese establecimiento. Indicaremos más tarde cómo se sitúa la lógica moderna (3er. ejemplo). Es innegablemente la consecuencia estrictamente determinada de una tentativa de suturar al sujeto de la ciencia, y el último teorema de Gödel muestra que fracasa, lo cual quiere decir que el sujeto en cuestión sigue siendo el correlato de la ciencia, pero un correlato antinómico puesto que la ciencia se muestra definida por el no-éxito del esfuerzo para suturarlo.

Aquí debe captarse la marca que no debe dejarse escapar del estructuralismo. Introduce en toda “ciencia humana” entre comillas, a la que conquista, un modo muy especial del sujeto, aquel para el que no encontramos un índice si no es topológico, digamos el signo generador de la banda de Moebius que llamamos el ocho interior.

El sujeto está, si puede decirse, en exclusión interna de su objeto.”

2) La verdad en filosofía de la matemática.

Michael Dummett  describe cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas:

  1. ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas son verdaderas?
  2. ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero?
  3. ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad?
  4. ¿Cómo es posible aplicar las verdades matemáticas a la realidad externa?

Como vemos, el significante que se repite es el de verdad. La pregunta por la verdad matemática ha tratado de responderse, como es lógico, desde diferentes corrientes filosóficas. Las principales son:

El empirismo: defendido por Stuart Mill, y en coherencia con las hipótesis de la aparición y primer desarrollo de las matemáticas, sostiene que las matemáticas son construcciones realizadas a partir del mundo físico que percibimos mediante nuestros sentidos. Las verdades matemáticas son las verdades más generales sobre el mundo físico, y el conocimiento se establece por la experiencia. Hume, otro gran empirista en matemáticas, era además nominalista: sostenía que las matemáticas son formas de lenguaje.

El logicismo: surge con las matemáticas deductivas de los griegos, y es la posición defendida por Frege, Russell o Whitehead. Exige una formalización de proposiciones y un proceso demostrativo que permita partir de ciertos axiomas para llegar a ciertas conclusiones o teoremas. La verdad es lo que se demuestra lógicamente como tal.

El formalismo: es una corriente derivada de la posición de Kant y que es cercana al logicismo, ya que incorpora las ideas intuicionistas al logicismo. La verdad matemática se sustenta en el principio de no contradicción. Hilbert es su principal exponente, pero su idea de encontrar un fundamento último y completo para la totalidad de las matemáticas fue seriamente trastocada tras la aparición del teorema de incompletud de Gödel.

El platonismo: conocer matemáticas es conocer ideas que se sitúan en un plano más allá de lo humano: el mundo de las ideas. Una variante del platonismo en matemáticas es el racionalismo, siendo su principal exponente Descartes, que situaba el origen de las ideas en Dios, pero que podíamos hallar pues se encontraban también en nuestra mente de forma innata. Como característica general, el platonismo en matemáticas, también denominado realismo matemático, sostiene básicamente dos cosas: primera, que las matemáticas son independientes de la mente humana por lo cual los seres humanos no inventan las matemáticas, sino que las descubren; segunda, que ese descubrimiento no se hace mediante la experiencia sensible del mundo físico sino mediante otra forma de contacto con los entes matemáticos. Gödel se sitúa firmemente en esta corriente, y coincide con Platón en una posición nominalista: los entes matemáticos existen más allá del lenguaje humano.

Hoy, gracias fundamentalmente a las demostraciones de Gödel, la mayor parte de los matemáticos son realistas o platónicos.

3) Incompletud, intuición, realismo y matemáticas.

El teorema de incompletud de Kurt Gödel muestra que no hay ningún método de prueba formal con el que poder demostrar todas las verdades de la matemática. Es decir, que existen aseveraciones cuya verdad o falsedad no vamos a poder demostrar, ya que es imposible decidirla dentro del mismo sistema. Si construimos un sistema formal suficientemente potente en que toda aseveración pueda decidirse como verdadera o falsa, entonces inevitablemente ese sistema contiene proposiciones contradictorias y paradójicas. Careaga (2002) afirma que el teorema de incompletud establece límites en la ciencia en lo que refiere a su conocimiento del mundo: “(…) existen aspectos que son imposibles de conocer debido a las limitaciones inherentes a cualquier sistema de conocimiento, incluido la ciencia misma. (…) Gödel fue el primero en demostrar rigurosamente esta aseveración y construyó su demostración usando el lenguaje preciso de la lógica simbólica”.[2]

Gödel trabajaba en efecto con sistemas formales (o cálculos) matemáticos y lógicos, los cuales son objetos de estudio en sí mismos. Veamos algunas definiciones, extraídas de la introducción de Rodríguez Consuegra a sus Ensayos Inéditos:

Sistema formal: conjunto de signos y las correspondientes reglas de formación de filas aceptables de ellos, o fórmulas, divididas estas en dos clases: axiomas (puntos de partida) y teoremas (derivables, demostrables a partir de los primeros, mediante la aplicación de reglas de inferencia explícitamente formuladas). La demostrabilidad se entiende en relación a un conjunto preciso de axiomas y reglas de inferencia.

El interés de los sistemas formales es variado: permiten formalizar ciertos lenguajes, pues su estructura está especificada, y permiten evitar paradojas.

Son propiedades metateóricas de los sistemas formales:

Su consistencia: Un cálculo es consistente cuando no es contradictorio, esto es, cuando no se da el caso de que una de sus fórmulas y su negación sean demostrables en él. Si es consistente, el sistema formal no llevará a teoremas contradictorios entre sí.

Su completud: Un cálculo es completo cuando cada una de sus fórmulas, o su negación, es demostrable en él. Por tanto, se puede demostrar que un cálculo es incompleto cuando no puede derivarse la negación o la afirmación de al menos una de sus fórmulas.

Su decidibilidad: Un cálculo es decidible cuando existe un procedimiento algorítmico (mecánico) mediante cuya aplicación (en un número finito de pasos) podemos determinar si cada una de sus fórmulas aceptables es o no demostrable en él (es decir, si es o no uno de sus teoremas).

El teorema de incompletud demuestra que si un sistema es consistente, entonces es incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente. Rodríguez Consuegra señala que la crítica filosófica de Gödel, que ya puede leerse en textos anteriores a su teorema de incompletud, “se dirige contra la supuesta creencia formalista de que la consistencia de un sistema de axiomas implica la existencia del correspondiente concepto matemático, sobre la base de que con ello se asume que todo problema es soluble, es decir, que no puede haber fórmulas indecidibles.”[3]

Gödel mostró así que la intuición era necesaria para fundamentar la matemática, y su teorema de incompletud se puede leer además como una tentativa de dar solidez a la idea del realismo de los objetos matemáticos. En efecto, si podemos probar que en un sistema formal consistente es posible derivar un teorema falso, entonces es que la prueba de consistencia no es suficiente para garantizar la existencia del correspondiente objeto matemático (que no puede ser contradictorio).

Tiene que ser por tanto la intuición matemática la que sirva de guía en la construcción de sistemas formales.

Podemos deducir ahora las implicaciones filosóficas del teorema:

a) la verdad matemática objetiva se opone a la mera demostrabilidad (argumento favorable al platonismo).

b) no hay posibilidad de construir un sistema global único para la matemática formalizada (argumento en contra del logicismo y el formalismo).

c) no existe ningún algoritmo posible al que reducir la matemática, lo que nos lleva a pensar que la mente humana supera cualquier formalismo.

d) Gödel insistió en las implicaciones realistas, que hacen hincapié en el carácter objetivo de los conceptos matemáticos (número, conjunto, etcétera…), que rebasan cualquier intento de formalización completa. Podemos decir por tanto que los conceptos matemáticos son objetos, y eso hace obstáculo a la formalización o logificación.

El platonismo, y por tanto la posición de Gödel, tiene sin embargo una dificultad epistemológica fundamental: la explicación del acceso a las supuestas entidades matemáticas es todavía problemática, no sabemos cómo se produce.

Podemos relacionar esta dificultad con otra que se nos presenta en psicoanálisis, tal y como Lacan la formula en la cita que apuntábamos al inicio de este trabajo: El sujeto está, si puede decirse, en exclusión interna de su objeto. Y, sin embargo, hay el fantasma.

Y podemos ahora preguntarnos:

¿Cuál sería el objeto del psicoanálisis si lo tomáramos como una ciencia? ¿Debemos acercar el psicoanálisis a la matemática gödeliana y defender que un concepto intuido, formalizado en este caso por Lacan, el objeto a, es su objeto? Pero, ¿Es el objeto a un concepto?

4) Algunas reflexiones sobre el interés de la obra gödeliana para el psicoanálisis.

¿Por qué Lacan menciona a Gödel en la ciencia y la verdad articulándolo al sujeto? No alcanzo a comprenderlo bien, aunque intuyo que esta referencia podría resultar capital para un laboratorio como el nuestro. Pero claramente apunta al teorema de Gödel que consigue demostrar la incompletud de los sistemas formales en matemáticas. Lacan trató, creo, de mostrar que el registro simbólico era incompleto, lo cual tenía implicaciones en la praxis al afectar al inconsciente, a su despliegue en la transferencia, y a la interpretación del analista. ¿No sería más pertinente invocar a Gödel para formalizar el concepto de A?

¿Debemos entender, más bien, que Lacan lee el teorema de incompletud como la imposibilidad matemática de excluir al sujeto por completo, en tanto Gödel mostró que ninguna convención puede sustituir a la intuición matemática en la constitución de los axiomas a la base de los sistemas formales?

En relación a la filosofía, pienso, imagino… debe haber axiomas en el psicoanálisis. Sigo imaginando, e insisto: no quiero que se tome en serio lo que digo. Pero lo digo, por qué no, se me ocurren los siguientes:

1) Hay lo Simbólico (conjunto de elementos que cumplen la propiedad “si se toma un elemento cualquiera del conjunto, entonces ese elemento es radicalmente distinto de cualquier otro elemento del conjunto”. Así, es un conjunto paradójico a la definición misma de conjunto).

2) Hay lo Imaginario. (Elemento que permite la alienación y que, gracias a la articulación con el registro simbólico, se puedan constituir conjuntos no paradójicos, y por ende el sentido).

3) Hay lo Real (que podría escribirse como el conjunto vacío {Ø}). En el teorema de Gödel, parece, lo real son los objetos matemáticos, equivalentes  a los objetos del mundo físico.

4) Hay un anudamiento entre los registros RSI, mediado por un sujeto supuesto, o por un sinthome (La contingencia es necesaria, y a la vez implica elección. El psicoanálisis sería impensable sin el derecho).

5) Hay el goce, para el cual es necesario un cuerpo vivo. (Esto no parece formalizable).

A partir de ahí, ¿se podrían constituir “teoremas” que lleven a otros conceptos que se demuestran a partir de los axiomas? La transferencia, la pulsión, la repetición y el inconsciente serían los conceptos fundamentales, y hay que ver en qué medida se podrían derivar de axiomas. Pero también parece fundamental el objeto a, que es claramente producido por una operación. ¿Cuál es su estatuto?

Quizás también el deseo, el Otro, el vínculo social, la sexuación, y las estructuras psíquicas podrían formalizarse… en cualquier caso, tenemos los matemas, ¿y qué son estos sino una tentativa de formalización? no podemos dejar de preguntarnos qué supone el matema para el psicoanálisis.

Sin embargo, hay que recordar que la lógica que gobierna la formalización en psicoanálisis es inductiva, ya que siempre parte de la experiencia. Más allá incluso, podemos decir que la teoría está siempre pendiente de su validación en la praxis del caso por caso. En ese sentido, el psicoanálisis, a pesar de que aparenta ser un formalismo (la perspectiva de Lacan sobre el significante exige en esencia tomarlo como elemento formal, pues no remite obligatoriamente ni al sujeto ni al objeto, aunque pueda dar cuenta de ambos) tiene una raíz empirista.

Queda como pregunta, por tanto, en qué medida puede el psicoanálisis recurrir a los universales, sin traicionar su propia ética. Esto determinará, al menos en parte, su relación con la ciencia, puesto que, en definitiva, la ciencia es una apasionada de los universales.

Bibliografía:

– Careaga, A. A. (2002). El teorema de Gödel. En Hipercuadernos de divulgación científica. http://www.dgdc.unam.mx/Hipercuadernos/Godel/biblioteca/biblioteca.html

Hervé Castanet, H. ; Fonteneau, F. ; Horne, V. ; Streliski, P. ; Briole G. Le mathème lacanien: l’écriture de la psychanalyse.

https://psicoanalisisyciencia.wordpress.com/documentos/le-matheme-lacanien-lecriture-de-la-psychanalyse/

– Dummett, Michael (1998), “The Philosophy of Mathematics”. En Grayling, A. C. (ed.) Philosophy 2: Further Through The Subject. Oxford University Press.

– Gödel, K. (1994). Ensayos inéditos. Edición a cargo de Francisco Rodríguez Consuegra. Prólogo de W. V. Quine. Madrid: Biblioteca Mondadori.

– Lacan, J. (1966/1999). La ciencia y la verdad. En Escritos 2. México: Siglo XXI editores.

– Lasagna, P. Science et Nom du Père.

https://psicoanalisisyciencia.wordpress.com/documentos/science-et-nom-du-pere/

– Wikipedia. Filosofía de la matemática.

http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_matem%C3%A1tica


[1] Entiendo por psicologización del sujeto el suponer que éste se conforma de contenidos mentales

[2] Ver página 3 del documento referenciado.

[3] Ver página 29 de los Ensayos Inéditos de Gödel referenciados.

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